Controllabilità e stabilità per equazioni di evoluzione degeneri di tipo Eulero-Bernoulli

Controllability and stability of partial differential equations ruled by linear degenerate operators constitute an important topic in both theory and real world applications. In particular, this thesis focuses on the controllability and the stability for one-dimensional beam equations of Euler-Bernoulli type affected by leading degenerate operators with respect to the spatial variable. Precisely, the systems under consideration can be viewed as abstract Cauchy problems on suitable Hilbert spaces, whose functions possess good integrability properties and satisfy fundamental Gauss-Green formulas. Therefore, the well-posedness of the problems can be treated in the framework of semigroup theory and, thus, existence results as well as dissipativeness of the systems can be achieved. Then, both the controllability and the stability results are obtained via the energy approach and the multiplier method. The thesis is divided in five chapters and their organisation follows a simple and direct approach which quickly leads both to the main results pursued during the Ph.D. period and to some new open problems. In the first chapter we collect all the preliminary tools for the convenience of the reader and to make the exposition self-contained. The subject of the second chapter is represented by some recent developments in boundary control theory for linear degenerate beam equations. In the third chapter we show the exponential decay of the energy associated to some degenerate equations via a damping term acting on the boundary. In the fourth chapter we apply the results of the third chapter to prove the stability features for several classes of non-linear degenerate beam equations and some concrete applications are illustrated. Finally, the thesis concludes with the fifth chapter, where some open problems are presented.

La controllabilità e la stabilità delle equazioni differenziali alle derivate parziali governate da operatori lineari degeneri costituiscono un argomento importante sia dal punto di vista teorico sia dal punto di vista delle applicazioni. In particolare, questa tesi si concentra sulla controllabilità e sulla stabilità per equazioni delle travi unidimensionali di tipo Eulero-Bernoulli caratterizzate dalla presenza di operatori degeneri rispetto alla variabile spaziale. Precisamente, i sistemi considerati possono essere visti come problemi di Cauchy astratti su opportuni spazi di Hilbert, le cui funzioni possiedono buone proprietà di integrabilità e soddisfano formule di Gauss-Green fondamentali. Pertanto, la buona positura di tali problemi può essere trattata nel contesto della teoria dei semigruppi di operatori e, quindi, si possono dimostrare risultati di esistenza così come di dissipatività dei sistemi. Inoltre, sia i risultati di controllabilità sia quelli di stabilità sono ottenuti mediante l'approccio energetico e il metodo dei moltiplicatori. La tesi è divisa in cinque capitoli e la loro organizzazione segue un approccio semplice e diretto che conduce facilmente sia ai principali risultati ottenuti nel periodo del dottorato sia ad alcuni nuovi problemi aperti. Per rendere l'esposizione della tesi più agevole e indipendente, nel primo capitolo sono riportati tutti gli strumenti preliminari che saranno utilizzati nei capitoli successivi. Nel secondo capitolo sono riportati alcuni recenti sviluppi sulla controllabilità di equazioni degeneri delle travi quando il controllo è localizzato nel punto di bordo di non degenerazione. Queste equazioni sono considerate anche nel terzo capitolo, dove se ne studia la stabilità attraverso un termine di damping che agisce, anche in questo caso, sul punto di non degenerazione. Questi risultati sono poi utilizzati nel quarto capitolo, dove si dimostra la stabilità di equazioni degeneri non lineari delle travi. La tesi si conclude con il quinto capitolo, dove vengono sintetizzati alcuni problemi aperti già presentati nei capitoli precedenti.