Confini illimitati: il Teorema di Eulero e la rappresentazione decimale periodica

L’utilizzo della rappresentazione decimale dei numeri è essenziale nelle scienze applicate per i vantaggi che offre nel calcolo. Da un punto di vista matematico, il suo approccio sistematico segna un passaggio dall’ aritmetica discreta praticata dai greci, all'aritmetica del continuum che oggi è dato per scontato (Malet, 2006). Nel percorso scolastico, si passa dalla definizione di rappresentazione decimale di un razionale mediante la divisione lunga, che può far comparire tutti i periodi tranne il periodo 9, a quella mediante le serie. A livello didattico, accettato l'allineamento decimale infinito e periodico, che si presenta in ogni razionale m/n avente un divisore di n primo con 10, l’assunzione del periodo 9 non desta perplessità da parte degli studenti ma c’è il rifiuto ad accettare l’uguaglianza 0,(9) =1 (Richman, 1999). Il passaggio alla definizione attraverso la nozione di serie complica il problema, essendo visto il “tendere” come un “raggiungere mai” (Tall, 2000).